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等しさと同値関係についての一考察

等しさとは何かを考察してみたいと思います。結論としては、1.等しさにはその等しさの基準が必要であること、2.その基準が集合の要素として対象化されるよりも同値関係のように関係によって定義される方が本質的であること、3.基準のある等しさと同値関係が同じ帰結を得ること、を指摘していきたいと思います。

対象と関係について、より詳細に

考えるとはどのようなことでしょうか?何かを考えるということは、複数の対象の関係を考えるということです。そして、対象そのものは本質的には、名前しか持たない「空っぽ」であり、対象の本質は、他の対象との関係によってのみ規定されます。例えば、構造とは対象という識別間の関係によって成立していると言えますし、対象は他の対象によって相対的にしか規定されえないと考えられます。

デデキント切断(有理数の切断)の定義とその同値性についての証明

実数の連続性を主張するデデキントの定理、その前提には実数のデデキント切断の定義があり、証明の中では、その二つの同値な定義、(ア)切断の両方を対象にした定義(命題)と、(イ)切断の片方のみを対象とした定義(命題)を使い分けます。このページでは、その二つの定義の同値性をきちんと証明したいと思います。

高校数学で論理を学びにくい理由

高校数学で論理を学びにくい理由は、冒頭でも述べましたが、主に命題の基礎に集合を用いてしまっていることにあるだろうと思います。したがって、数学で他分野にも使える論理的思考力を磨きたい人は、集合を使いこなせることはとても大切ですが、一度集合のことは忘れて、まず、命題と推論の関係を意識して数学を学習したり、数学的な議論を行うと良いだろうと思います。まず、命題の論理を使いこなせ、加えて、集合を使いこなせるようになることが大切だろうと思います。

フリーのエディタ、サイト多言語化

直近の活動:1.新しいノートパソコンを購入したので、開発環境を整えている。2.ワードプレスで細かなウェブアプリの公表の場となるサイトをいくつか作っていこうと考えている。

数学の証明の記述法について

数学の証明の記述法について、その難しさの理由と解決方法を考察する。そして、数学の証明の記述方法のあるべき姿と、作業フローを提示する。

交換子群について

ガロア理論の柱の一つである可解群を構成する交換子群について、基本を説明する。交換子群はあくまで交換子全体によって生成される部分群であり、交換子でない元を含んでいても良い。さらに、交換子群D(G)が群Gの正規部分群となることを丁寧に説明する。

論理と矛盾、対偶の証明

論理とは何かを簡単に紹介します。論理の基本単位は命題です。命題とは、真偽(正誤)が明確に定まる主張のことです。矛盾とは、同じ命題が真でもあり、偽でもあることを言います。論理自体は、矛盾に気を付けて命題を⇒で繋いでいくだけの図にも書ける単純で簡単なことです。例として、対偶の証明を行います。

パスカルの三角形の和公式、組合せと格子点

パスカルの三角形は、和の演算により組合せの数を作成することができる。この組合せの和による導出方法を「パスカルの三角形の和公式」として定式化する。その過程で、組合せは重複組合せの和であることも示される。さらに、組合せはn次元の距離lまでにある格子点の数と等しいことが分かる。