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組合せと格子点の多項定理への拡張

前ページ:「パスカルの三角形の和公式、組合せと格子点」の二項定理の議論を、多項定理に拡張した上で、べき(羃)乗や自然数との関係を考察する。【目次】5.多項定理と格子点、6.多項係数の分解式、7.べき乗と格子点、8.自然数と格子点

組合せとべき乗の関係式と計算法

組合せとべき乗の関係式を紹介する。さらに、べき乗の格子点の構造を考察してその計算法を示す。【目次】9.組合せの展開式、10.べき乗と組合せの関係式、12.べき乗の格子点の構造と計算法、12-1.組合せ格子点集合を断面とする計算法、12-2.多項定理の効率的な計算法、12-3.(l+1)^nと(n+1)^lの関係性

直角三角錐の4面の関係式 ー ピタゴラスの定理の拡張

【命題】直角三角錐の頂点に接する側面の面積をA,B,Cとし、底面の面積をDとすると、Aˆ(2)+Bˆ(2)+Cˆ(2)=Dˆ(2)が成り立つ。【課題】n次元直交座標の原点を頂点として、各座標軸上のn点を取ったn次元直角図形において、この関係式を拡張することができるか。

フェルマーの小定理の証明

フェルマーの小定理を簡潔に証明する。フェルマーの小定理が成立する理由、数の仕組みを理解できるとともに、平易な形でそれを明らかにするよう試みた。【証明】pによる余りは1,2,〜,p-2,p-1のいずれかしかない。aにaを掛けて余りをとる操作Tを繰り返し行うと、p-1以下ですでに現われた余りが再び、、、つづく

素数が無限にあることの証明

素数が無限にあることを簡潔に証明する。算術の基本定理を用いた証明と、それを用いない証明の二つを示す。【証明】
仮に素数が有限個しかないとすると、すべての素数をXとして、それらを掛けた数をxとする。x+1は少なくとも一つの素数で割られる(後で証明する)ので、その素数をpとする、、、つづく

5.対象と関係、関係論理 -なぜ・なにを・どう学ぶのか-

物事を正確に考えるための方法として、私が考えた知識を対象と関係に分けて考える手法を説明したい。物事を考えるには、対象を明確にし、対象と対象の関係を考察する必要がある。それは、すべての対象は他の対象なくして存在せず、他の対象との関係によってのみ規定されるからだ。さらに、対象と関係は論理という形で表現することもできる。

4.国語と数学と英語 -なぜ・なにを・どう学ぶのか-

国語は、人が物事を考えるための基礎であり、各学問を理解するための土台となる学科である。数学は、科学の土台であり中心である。科学、つまり自然を理解し表現すること、そのための言語のような学科である。英語は、世界の共通言語であり、習得する価値の高い言語といえる。どの学科でも、勉強の仕方で最も大切なことは反復することである。

学問と論理、とくに科学と法律 -なぜ・なにを・どう学ぶのか-

現代社会は、あらゆる側面で様々な学問に支えられている。そこで生活するには、多少なりともそれぞれの学問を知る必要がある。とくに科学と法律は、現代社会の土台である。それを基礎付けている論理について、そしてさらに科学と法律とは何かを説明する。

学問と論理13(西洋近代と現代の合理主義4) -なぜ・なにを・どう学ぶのか-

公理主義的な考えを進めると、公理の真偽に関係なく公理を仮定として理論を構成することができます。さらに、公理の形式化を進めることで、公理や命題の意味を解釈することなく、論証をデータ操作で可能な段階に至ります。このような形式化は、正確に対象を認識したり、多様な理論を統一したり、理論を互いに相対的に接続したり、などするためには、とても強力な手段となります。ソクラテスから始まり、ユークリッドの原論、時代を超えてデカルトの方法序説、ヒルベルトの公理主義を紹介してきました。これらのことを知って意識しながら数学を学べば、合理的、論理的な思考力を鍛える上で、数学以上の題材はないのだろうと思いますし、意識的に学ぶことによってこそ、その他の学問や仕事への応用もできるようになります。