素数が無限にあることを簡潔に証明する。算術の基本定理を用いた証明と、それを用いない証明の二つを示す。【証明】
仮に素数が有限個しかないとすると、すべての素数をＸとして、それらを掛けた数をｘとする。ｘ＋１は少なくとも一つの素数で割られる（後で証明する）ので、その素数をｐとする、、、つづく